出品：科学大院
作者：黄逸文（中国科学院数学与系统科学研究院）
监制：中国科学院计算机网络信息中心 中国科普博览
德国著名数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）
1900年，大数学家希尔伯特（Hilbert）在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了23个数学问题，为整个二十世纪的数学发展指明了方向。时过境迁，值千禧年之际，美国克雷研究所提出了7个世纪性的数学难题，并慷慨地为每个问题设置了100万美元的奖金。
回顾这段跨越时空的呼应，我们会发现黎曼猜想一直伴随着数学家们，并让无数数学家为之着迷。黎曼猜想究竟有何神奇之处？它隐藏着怎样的世界的秘密？破译这样一个难题，是否会给数学和世界带来激动人心的改变呢？
质数探索
在自然数数列中，质数就是那些分解为1和自身之外没有其他因子的整数，如2、3、5、7、11等。而4、6、8、9等则不是质数。由于每个自然数都可以唯一定解成有限个质数的乘积，在一定程度上，质数构成了自然数体系的基础，就像原子构成物质世界一样。
人们对质数的兴趣可以追溯到古希腊时期。当时，欧几里得用反证法证明了自然数中存在着无穷多个质数，但对于质数的分布规律，人们却毫无头绪。随着研究的深入，人们越来越困惑于这些特立独行的质数。它们在自然数的海洋中时隐时现，给辛辛苦苦抵达此处的科学家们留下惊叹后，又再次扬长而去。
1737年，瑞士天才数学家欧拉（Euler）发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如鬼魅般出现的质数终于不再肆意妄为，展现出了井然有序的一面。
沿着欧拉开辟的道路，数学王子高斯（Gauss）和另一位数学大师勒让德（Legendre）深入探讨了质数的分布规律，并独立提出了石破天惊的质数定理。该定理给出了质数在整个自然数中的概率，与实际计算高度吻合。在与人们玩了2000多年的捉迷藏游戏后，质数终于露出了它们的真面目。
横空出世
虽然符合预期，但质数定理预测的分布规律与实际情况仍有偏差，而且偏差时大时小。这引起了黎曼的注意。
那时，年仅33岁的黎曼（Riemann）当选为德国柏林科学院通讯院士。为了感谢柏林科学院授予他的崇高荣誉，并表达自己的感激之情，他将一篇论文提交给了柏林科学院，论文题目为《论小于已知数的质数的个数》。在这篇论文中，黎曼阐述了质数的精确分布规律。
没有人能预料到，这篇仅有8页的论文蕴藏着一位数学大师的高瞻远瞩和智慧，至今仍让后人苦苦思索其中的奥妙。
黎曼Zeta函数
黎曼在文章中定义了一个函数，后世称之为黎曼Zeta函数。Zeta函数是关于s的函数，其具体定义可以用自然数n的负s次方求和来表达。黎曼Zeta函数是一个无穷级数的求和。然而遗憾的是，只有当复数s的实部大于1时，这个无穷级数求和才能收敛（收敛是指级数相加的总数小于无穷）。
为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分对该函数进行了解析延拓，将s的取值范围扩展到了复数平面。
研究函数的一个重要方法是对其零点有深刻的认识。零点指使函数取值为零的数值集合。例如，一元二次方程通常有两个零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。
对于解析延拓后的Zeta函数，黎曼证明了它具有两种类型的零点。其中一类是某个三角sin函数的周期性零点，被称为平凡零点；另一类是Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼提出了三个命题。
第一个命题：黎曼指出了非平凡零点的个数，并明确指出它们分布在实部大于0但小于1的带状区域内。
第二个命题：黎曼提出，几乎所有非平凡零点都位于实部等于1/2的直线上。
第三个命题：黎曼谨慎地表述为：很有可能所有非平凡零点都位于实部等于1/2的直线上。这条直线从此被称为临界线。而这个最后的命题，正是让后世数学家痴迷不已、夜不能寐的黎曼猜想。
有人曾问希尔伯特，如果500年后能重返人间，他最想知道什么？希尔伯特回答说，我想知道黎曼猜想是否解决了。美国数学家蒙哥马利（Montgomery）也曾说过，如果有魔鬼答应用数学家的灵魂来交换一个数学命题的证明，大多数数学家愿意用自己的灵魂换取黎曼猜想的证明。黎曼猜想，宛如真理宇宙中数学家心目中最闪亮的星辰。