正切函数 tanx 的导数是 (secx)²，即 secant 平方。我们可以通过导数的定义公式来推导，也可以利用商的求导公式来计算这个导数。
导数定义公式法
使用导数定义公式 f'(x) = lim(h->0) ((f(x+h)-f(x))/h)，可得：
“`
(tanx)’ = lim(h->0) ((tan(x+h)-tanx)/h)
= lim(h->0) (((tanx+tanh)/(1-tanxtanh)-tanx)/h)
= lim(h->0) (((tanx+tanh)-(tanx-(tanx)²tanh))/(h(1-tanxtanh)))
= lim(h->0) (((tanh+(tanx)²tanh))/(h(1-tanxtanh)))
“`
应用极限 lim(h->0)(tanh/h) = 1，得到：
“`
(tanx)’ = lim(h->0) ((1+(tanx)²)/(1-tanxtanh)) = 1+(tanx)² = (secx)²
“`
商的求导公式法
商的求导公式为：对于可导函数 u(x) 和 v(x)，且 v(x) 不等于 0，有：
“`
((u(x)/v(x))’ = (u'(x)v(x)-v'(x)u(x))/(v(x))²
“`
由于 tanx = sinx/cosx，满足商的形式，因此 tanx 的导数可利用商的求导公式计算。分母 cosx 平方的导数为 0，分子 sinx 的导数为 cosx 乘以分母 cosx，即 cosx²，减去分母 cosx 的导数 -sinx 乘分子 sinx，即 -sinx²。分子为 (cosx)² + (-sinx)² = 1。tanx 的导数为 1/(cosx)² = (secx)²。
虽然利用商的求导公式计算 tanx 的导数更简便，但不可忽视导数定义公式法。学习数学，掌握各种方法非常重要，就像吃饭不能挑食一样，只有全面吸收才能充分理解数学知识。