抛物线的切线方程及其应用技巧

本题考查抛物线，涉及抛物线的方程、抛物线的切线、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系等知识点，综合考查数形结合的思想、转化与划归的思想，属于中档题。

第一问，将抛物线转化为二次函数，通过导数求出切线方程，这是开口朝上的抛物线中的常见方法。还可以使用判别式法求解，但相较而言，导数法更加巧妙。

第二问，根据第一问的结论给出弦长的表达式，然后通过求解点在圆内的条件得到参数的取值范围，最终将目标转换为函数最值问题进行求解。值得注意的是，第二问中使用换元简化目标函数是圆锥曲线中常用的技巧。