作者 | 橘子老君
来源 | 橘子数学
虚数这个概念迄今为止仍蒙着一层神秘的面纱。究其原因在于它不幸的命名——如果我们把i与正单位+1和负单位-1一起称作横向单位而非虚单位，这种神秘感便不复存在。
—— Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
对于求解，曾有数千年的时间，它一直被回避或忽视，简单地因为它被认为毫无意义。直到大约500年前，才发现此问题不可再回避。
尽管关于卡尔达诺方程的故事广为流传，但老君在这里为了让读者理解我们为什么无法回避对 的讨论，并尽可能还原故事全貌，特地写了两段故事。
主线剧情
文艺复兴时期百科全书式的学者卡尔达诺(1501-1576)在1545年出版的(《大术》)一书中给出了对一般三次方程 的求解方法。
即先通过换元得到 形式，然后可由求根公式得到
【问题探索】如何把任意三次方程，变形为 的形式？
在求解 时，将 代入上式得到:
而我可以得到 是方程的解，利用长除法可得二次方程 ，解得另两个实根为 。
虽然卡尔达诺并未惧怕负数开根，并设 ，但是由于缺乏有效的复数域下开根的方法而陷入了一个循环代换，卡尔达诺把这种情况称为”不可约”。并把 作为判别式，认为只有判别式>0的情况下才适用他的公式。
【问题探索】如何在复数域求任意复数的n次方根？
【问题探索】如何证明出现“不可约”情形的三次方程，必有三个实根且两正一负？
文艺复兴时期欧洲著名的工程师邦别利(1526-72)，于1572年的《代数学》一书中讨论了负数的平方根，并认为 是一组共轭复数，于是把它们分别设成了:
然后两边三次方，通过待定系数法，解(凑)出了 ，获得了正实根 . 从而指出当判别式<0时，卡尔达诺的公式仍然适用。
[注]：因为在那个时代负数根依旧被数学家们所无视， 邦别利并没有深入研究两个负实根。
【问题探索】如何证明不含平方项的三次方程，在复数域内所有根之和并为0？
之后的数学家们纷纷开始研究负数开根的问题，将其与三角、经典几何、解析几何、微积分等数学分支联系了起来，从而对复数有了更系统的研究。
支线剧情
一个叫费罗(1465-1526)的意大利数学家，找到了求解以下形式三次方程的方法:
[注]：注意与前者卡丹公式的区别，虽然在现代人看来只是 差了一个负号，但在那个时代一方面负数的运算规则尚未普及，另一方面两者解的情况也有明显不同.
他找到的求解公式是:
当然到此为止，这并没有跟 扯上任何关系，因为 为正数保证了根号里一定是大于零的数。而且不难证明该形式的三次方程有且仅有一个实根。
【问题探索】如何证明 有且仅有一个实根？
在那个时代，数学家以相互挑战以收获名誉和奖金，所以他们往往对外宣称自己解决某一问题但对解决问题的方法秘而不宣。所以费罗直到临死前才把上述方法传给了他的学生菲奥尔。
可惜菲奥尔是个不自量力的学渣， 他其实只会套用老师传给的公式。当另一位著名数学家塔塔利亚(1500-1557) 宣称可以求解 时，菲奥尔自大地认为塔塔利亚就是个骗子，跑去向他发起了挑战。结果可想而知，冯塔纳解决所有30个菲奥尔给出的三次方程，而菲奥尔一个都没解出来。
经此一役，塔塔利亚随三次方程求解问题一起声名远播，从而
参考文献
- https://thatsmaths.com/2016/12/08/raphael-bombellis-psychedelic-leap/
- An Imaginary Tale: The Story of √(-1)，Paul J. Nahin，1998 年。
