三角函数的自变量选择
提出问题
有人认为使用角度作为三角函数自变量不可行，因为角度集合并非实数集。另一些人则指出，角度带单位，是常量而非实数。那么，该如何理解这一问题呢？
角度的本质
角度通常指角的大小，以度分秒表示。1°代表角的大小等于圆周的 360 分之一。1° 显然不是实数。如果单独取出 1° 中的数值 1，这个 1 就是实数。
对于任何角 α（正角、负角或 0 角），都可以用度分秒度量其大小，即 n 度。单独取出 n，可以发现 n 是实数（这个过程类似于使用弧度制表示角度时省略“弧度”一词）。反之，对于任何实数 n，我们都可以找到一个角 α，其度数为 n。
将角度集合和实数集 R 建立一一对应关系。这意味着我们可以使用角度 n 作为三角函数的自变量。
角度制带来的麻烦
必须指出的是，使用角度作为自变量的三角函数带来了无处不在的麻烦，而弧度制则处处显示其优越性。
1. 换算
度分秒制中使用十进制和六十进制。例如，角 α = 136°47’21″，其中 136、47、21 都是十进制，而度、分、秒之间是六十进制。要找出与 α 对应的实数 n，人工计算会很麻烦。
2. 运算
例如，在弧度制下，π/3 + 1 = (π + 3)/3。而在角度制下，60° + 1 怎么加？难道是 60 + 1 = 61（度）？显然不是。
3. 应用
例如，弧长公式在弧度制下为 l = αr，而在角度制下为 l = nπr/180，更加麻烦。又如，求导公式在弧度制下很简洁，而在角度制下需要全部改写。
使用角度制虽然勉强可以，但带来了不少不便，因此没有必要。
量纲问题
有人认为角度制数字带量纲，而弧度制数字不带量纲。弧度制下的三角函数问题被抽象为纯数学问题，有更广泛的应用。
通常认为角度是无量纲量（与长度不同）。如果坚持认为它有量纲，那么其量纲应为 1。量纲本质上是物理概念，其理论较为复杂，因此这里不作深究。而且，回答上述问题完全不必涉及量纲。
教材内容补充
有人认为教材已经阐明了为什么可以使用弧度定义三角函数，但没有说明为什么不使用角度制。进一步来说，教材不可能将所有可疑问题都解释清楚。关于使用角度制定义三角函数的问题，教材没有必要解释，也不好解释。
函数作图的单位问题
作函数图像时，需要 x、y 轴单位一致，否则会导致图像失真。对于实际应用问题，x、y 轴的长度单位可以不一致，需根据具体情况考虑。
角度制下作图
角度制下也可以绘制三角函数图像，但需要一些约定。例如，表示 1 度的实数 1 在横轴上描绘为 1 个单位长度，90 度的正弦值为 1，则在纵轴上描绘为 1 个单位长度。这样绘制的正弦曲线会非常平坦，看起来不美观，也不便于应用。
结语
明白角度在三角函数中的本质以及使用角度制带来的不便，有助于提高学习三角函数的积极性。