**正比例函数的一線三直角應用（八年級數學）**
**引言**
在八年級數學正比例函數的學習中，其應用最基本的便是求解析式。根據其特點，我們只需要得知直線上的某一點坐標，即可求得比例係數 (k) 。而於坐標系中求點坐標，我們在七年級已建立了坐標與幾何線段之間的聯繫。對於初次經歷數形結合的八年級學生而言，這需要一個熟練的過程。換句話說，一般會通過作垂線於坐標軸的方式，完成坐標與線段長度的轉換。同時，需要留意的是，坐標是有符號區別的，而線段長度卻是正數。須辨別點位於哪一個象限。
**題目**
圖中，正比例函數 (y = kx) 經過點 (A) 。點 (A) 位於第四象限，且過點 (A) 作 (AH perp x) 軸，垂足為點 (H) 。點 (A) 的橫坐標為 (3) ，且正三角形 (AOH) 的面積為 (3) 。
（1）求正比例函數的解析式；
（2）若直線 (y = mx) （(m < k)）上有一點 (B) 滿足 ∠AOB = 45°，且 (OB = AB) ，求 (m) 的值。
**解析**
（1）此正比例函數經過點 (A) ，因此我們需要求出點 (A) 的坐標。其橫坐標已給定為 (3) ，縱坐標則隱藏在正三角形 (AOH) 面積為 (3) 的條件中。正三角形 (AOH) 是直角三角形，面積等於 (OH) 與 (AH) 乘積的一半。其中 (OH) 為 (3) ，因此可以求出 (AH) 為 (2) 。點 (A) 的坐標為 ((3, -2)) 。再將其代入 (y = kx) 中可得 (k = -2/3) 。正比例函數的解析式為 (y = -2/3x) ；
（2）當我們看到 ∠AOB = 45° 時，八年級解題經驗中最容易聯想到的是等腰直角三角形。恰好有這樣一個特殊銳角。那麼，圖中的 △AOB 是否符合這樣的條件呢？
結合題目中的條件，(OB = AB) ，答案肯定。△AOB 是個等腰直角三角形。這就形成了 “一线三直角” 最基本的條件。其構造方法是，過點 (B) 向 (y) 軸作垂線，如下圖：
圖中 △OBE 與 △BAF 的全等條件很容易找到：∠BEO = ∠F = 90°。利用同角的餘角相等，證明∠ABE = ∠BAF，再結合 (OB = AB) ，得到 △OBE ≌ △BAF，所以 (BE = AF) ，(OE = BF) 。請注意，我們需要知道 (BE) 和 (OE) 的長度，分別對應求點 (B) 的橫縱坐標，因此需要找出它們之間的等量關係。圖中四邊形 (OEFH) 可證明為一個矩形，因此 (EF = OH = 3) ，而 (OE = HF) 。以下進行替換：
(OE = AH + AF = 2 + AF = 2 + BE) ，
另一方面：
(BF = EF – BE = OH – BE = 3 – BE) 。
我們可以得到方程式 (2 + BE = 3 – BE) ，可求出 (BE = 1/2) 。由此得到 (OE = 5/2) 。至此得到點 (B) 的坐標為 ((1/2, -5/2)) 。将其代入 (y = mx) ，求出 (m =-5) 。
**解題反思**
此題作为一道正比例函数习题课的思考题布置下去，交上来的同学很少，对于刚刚学完正比例函数的八年级学生而言，综合力度较大，完成不易，但借助这道题，至少让学生明白正比例函数的直线特征与几何里是完全一样的，只是在坐标系中，几何中的直线可以用解析式表示，即几何代数化，为后面一次函数的应用发一个“预告片”，能从这道题反思自己思路缺陷的学生，无疑将在后续学习中如鱼得水。